Tok et team av matematikere bare et stort skritt mot å svare på et 160 år gammelt milliontollspørsmål i matematikk?
Kan være. Mannskapet løste en rekke andre, mindre spørsmål i et felt som kalles tallteori. Og ved å gjøre det har de åpnet en gammel aveny som til slutt kan føre til svar på det gamle spørsmålet: Er Riemann-hypotesen riktig?
Reimann-hypotesen er en grunnleggende matematisk formodning som har enorme implikasjoner for resten av matematikken. Det danner grunnlaget for mange andre matematiske ideer - men ingen vet om det er sant. Dets gyldighet har blitt et av de mest kjente åpne spørsmålene i matematikk. Det er et av syv "Millennium Problems" som ble lagt ut i 2000, med løftet om at den som løser dem, vil vinne en million dollar. (Bare ett av problemene er siden blitt løst.)
Hvor kom denne ideen fra?
Tilbake i 1859 foreslo en tysk matematiker ved navn Bernhard Riemann et svar på en spesielt tornete matematikkligning. Hans hypotese går slik: Den virkelige delen av enhver ikke-triviell null av Riemann zeta-funksjonen er 1/2. Det er et ganske abstrakt matematisk utsagn, som har å gjøre med hvilke tall du kan sette inn i en bestemt matematisk funksjon for å gjøre den funksjonen lik null. Men det viser seg å utgjøre en god del, viktigst når det gjelder spørsmål om hvor ofte du vil møte primtall når du teller opp mot uendelig.
Vi vil komme tilbake til detaljene i hypotesen senere. Men det viktige å vite nå er at hvis Riemann-hypotesen er sann, svarer den på mange spørsmål i matematikk.
"Så ofte i tallteori, det som ender opp med å skje er at hvis du antar Riemann-hypotesen, kan du bevise alle slags andre resultater," sier Lola Thompson, en tallteoretiker ved Oberlin College i Ohio, som ikke var involvert i denne siste forskningen, sa.
Ofte, fortalte hun til Live Science, vil tallteoretikere først bevise at noe er sant hvis Riemann-hypotesen er sann. Så vil de bruke det beviset som et slags springbrett mot et mer intrikat bevis, som viser at deres opprinnelige konklusjon er sann om Riemann-hypotesen er sann eller ikke.
At dette trikset fungerer, sa hun, overbeviser mange matematikere om at Riemann-hypotesen må være sant.
Men sannheten er at ingen vet helt sikkert.
Et lite skritt mot et bevis?
Så hvordan så dette lille teamet av matematikere ut til å bringe oss nærmere en løsning?
"Det vi har gjort i papiret vårt," sa Ken Ono, en tallteoretiker ved Emory University og medforfatter av det nye beviset, “er vi besøkt et veldig teknisk kriterium som tilsvarer Riemann-hypotesen ... og vi beviste et stort del av det. Vi beviste en stor del av dette kriteriet. "
Et "kriterium som tilsvarer Riemann-hypotesen", refererer i dette tilfellet til en egen uttalelse som er matematisk ekvivalent med Riemann-hypotesen.
Ved første øyekast er det ikke åpenbart hvorfor de to uttalelsene er så forbundet. (Kriteriet har å gjøre med noe som kalles "hyperbolisiteten til Jensen-polynomier.") Men på 1920-tallet beviste en ungarsk matematiker ved navn George Pólya at hvis dette kriteriet er sant, så er Riemann-hypotesen sann - og omvendt. Det er en gammel foreslått rute mot å bevise hypotesen, men en som i stor grad hadde blitt forlatt.
Ono og kollegene beviste i en artikkel publisert 21. mai i tidsskriftet Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS) at kriteriet i mange, mange tilfeller er sant.
Men i matte er mange ikke nok til å regne som et bevis. Det er fortsatt noen tilfeller der de ikke vet om kriteriet er sant eller usant.
"Det er som å spille et Powerball-millionnummer," sa Ono. "Og du vet alle tallene, men de siste 20. Hvis til og med et av de siste 20 tallene er feil, taper du.… Det kan fortsatt falle fra hverandre."
Forskere må komme med et enda mer avansert bevis for å vise at kriteriet er sant i alle tilfeller, og dermed bevise Riemann-hypotesen. Og det er ikke klart hvor langt unna et slikt bevis er, sa Ono.
Så hvor stor avtale er dette papiret?
Når det gjelder Riemann-hypotesen, er det tøft å si hvor stor avtale dette er. Mye avhenger av hva som skjer videre.
"Dette er bare en av mange likeverdige formuleringer av Riemann-hypotesen," sa Thompson.
Det er med andre ord mange andre ideer som, i likhet med dette kriteriet, skulle bevise at Riemann-hypotesen er sann hvis de selv ble bevist.
"Så det er virkelig vanskelig å vite hvor mye fremgang dette er, for på den ene siden har det gjort fremskritt i denne retningen. Men det er så mange likeverdige formuleringer at kanskje denne retningen ikke kommer til å gi Riemann-hypotesen. Kanskje en av de andre tilsvarende teoremene i stedet vil gjøre det, hvis noen kan bevise en av disse, "sa Thompson.
Hvis beviset dukker opp langs dette sporet, vil det sannsynligvis bety Ono og hans kolleger har utviklet et viktig underliggende rammeverk for å løse Riemann-hypotesen. Men hvis det dukker opp et annet sted, vil denne artikkelen vise seg å ha vært mindre viktig.
Likevel er matematikere imponert.
"Selv om dette fortsatt er langt borte fra å bevise Riemann-hypotesen, er det et stort skritt fremover," skrev Encrico Bombieri, en teoretiker fra Princeton som ikke var involvert i teamets forskning, i en medfølgende 23. mai-PNAS-artikkel. "Det er ingen tvil om at denne artikkelen vil inspirere til videre grunnleggende arbeid innen andre områder innen tallteori og i matematisk fysikk."
(Bombieri vant en Fields-medalje - den mest prestisjetunge prisen i matematikk - i 1974, i stor grad for arbeid relatert til Riemann-hypotesen.)
Hva betyr Riemann-hypotesen likevel?
Jeg lovet at vi ville komme tilbake til dette. Her er Riemann-hypotesen igjen: Den virkelige delen av enhver ikke-triviell null av Riemann zeta-funksjonen er 1/2.
La oss bryte det ned i henhold til hvordan Thompson og Ono forklarte det.
For det første, hva er Riemann zeta-funksjonen?
I matte er en funksjon et forhold mellom forskjellige matematiske mengder. En enkel kan se slik ut: y = 2x.
Riemann zeta-funksjonen følger de samme grunnprinsippene. Bare det er mye mer komplisert. Slik ser det ut.
Det er en sum av en uendelig sekvens, der hvert begrep - de første parene er 1/1 ^ s, 1/2 ^ s og 1/3 ^ s - blir lagt til de forrige begrepene. Disse ellipsene betyr at serien i funksjonen fortsetter slik, for alltid.
Nå kan vi svare på det andre spørsmålet: Hva er null av Riemann zeta-funksjonen?
Dette er lettere. En "null" av funksjonen er et hvilket som helst tall du kan sette inn for x som får funksjonen til å være lik null.
Neste spørsmål: Hva er den "virkelige delen" av en av nullenene, og hva betyr det at den tilsvarer 1/2?
Riemann zeta-funksjonen innebærer det som matematikere kaller "komplekse tall." Et komplekst tall ser slik ut: a + b * i.
I den ligningen står "a" og "b" for alle reelle tall. Et reelt tall kan være alt fra minus 3, til null, til 4.9234, pi, eller 1 milliard. Men det er en annen type tall: imaginære tall. Fantasiske tall dukker opp når du tar kvadratroten til et negativt tall, og de er viktige, og dukker opp i alle slags matematiske sammenhenger.
Det enkleste imaginære tallet er kvadratroten av -1, som er skrevet som "i." Et komplekst tall er et reelt tall ("a") pluss et annet reelt tall ("b") ganger i. Den "virkelige delen" av et komplekst tall er at "a."
Noen få nuller av Riemann zeta-funksjonen, negative tall mellom -10 og 0, teller ikke for Reimann-hypotesen. Dette anses som "trivielle" nuller fordi det er reelle tall, ikke komplekse tall. Alle de andre nullene er "ikke-trivielle" og komplekse tall.
Riemann-hypotesen slår fast at når Riemann zeta-funksjonen krysser null (bortsett fra nullen mellom -10 og 0), må den virkelige delen av det komplekse tallet være lik 1/2.
Den lille påstanden høres kanskje ikke veldig viktig ut. Men det er. Og vi er kanskje bare en teensy bit nærmere å løse det.
