Min fysiske sans forteller meg at hastigheten på avstøpning er rømningshastigheten.
Denne minimeringen kan fungere bedre med et forhold mellom den totale energiforandringen til asteroidesystemet pluss kastet materiale og energien til det kastede materialet. Rakettligningen er til noen hjelp. Rakettligningen er et bevaring av momentumresultatet med
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
hvor V er reaksjonsmassehastigheten,? v og? m er endringen i hastighet og massetap for "raketten", eller i dette tilfellet asteroiden, og m og v er gjenstandens begynnelsesmasse og hastighet. Vi setter v = 0 og får
? v = V (? m / m)
og hastigheten integrert opp er v = V ln (m_i / m_f), for m_i den opprinnelige massen og m_f den endelige massen. Hvis endringen i masse er liten har vi
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
og momentumet til asteroiden på slutten er p ~ = V (m_i - m_f). Vi lar nå V = u - v_e, for v_e rømningshastigheten og u hastigheten til objektet som kastes av. Dette betyr at V er hastigheten til det kastede objektet "i det uendelige."
Anta nå at vi vil minimere den kinetiske energien til asteroiden K = (1/2) p ^ 2 / m_f for en gitt avstøpning av kinetisk energi E = (1/2)? Mu ^ 2. Vi konstruerer et dimensjonsløst forhold,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
BTW, det er viktig å jobbe med et dimensjonsløst forhold. Så vi minimerer dette for en gitt? M og beregner u. Så vi minimerer
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
og dette er null ved v_e = u. Dette virker litt rart gitt rakettligningsformelen, men jeg vil diskutere det nedenfor.
Vi tar deretter det andre derivatet for å bestemme om dette er maks eller min, og vi får
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
som ved u = v_e er -2 <0 og så er det et min, hva vi vil. Det er også tydelig at u = v_e er den minste kinetiske energien vi kan gi massen.
Det høres rart ut at vi har v ~ = V (m_i / m_f - 1), som for V = u - v_e er null ved u = v_e. For u = v_e beveger imidlertid asteroiden seg ut til det kastede objektet når uendelig. Hensikten med å gjøre dette er å skape en forskyvning av asteroiden, og når det kastede objektet når "uendelig", vil asteroiden nå en viss forskyvningsavstand unna.
LC
