"Til evigheten og forbi!"
Har du til og med tenkt dypt på Buzz Lightyears berømte tekstfrase fra "Toy Story" -filmene? Sannsynligvis ikke. Men kanskje du noen ganger har sett opp på nattehimmelen og lurt på selve uendeligens natur.
Infinity er et rart konsept, som menneskets hjerne har vanskelig for å pakke sin begrensede forståelse rundt. Vi sier at universet kan være uendelig, men kan det egentlig bare fortsette for alltid? Eller sifrene i pi etter desimalen - kjører de faktisk uendelige, og gir oss alltid så mye mer presisjon om forholdet mellom en sirkels omkrets og radius? Og kunne Buzz ha rett? Er det noe utover uendelig?
For å takle disse tankene som bøyer seg, fikk Live Science hjelp av matematikeren Henry Towsner fra University of Pennsylvania i Philadelphia, som var snill nok til å prøve å svare på spørsmålet, "Kan du telle forbi uendelig?" (Vær varslet: dette kommer til å bli vanskelig.)
Uendelig, sa Towsner, sitter på et merkelig sted: De fleste føler at de har en viss intuisjon om konseptet, men jo mer de tenker på det, desto mer rart blir det.
Matematikere tenker derimot ikke ofte på uendelig som et konsept på egen hånd, la han til. Snarere bruker de forskjellige måter å tenke på det for å få til mange aspekter.
For eksempel er det forskjellige størrelser på uendelig. Dette ble påvist av den tyske matematikeren Georg Cantor på slutten av 1800-tallet, ifølge en historie fra University of St. Andrews i Skottland.
Cantor visste at de naturlige tallene - det vil si hele positive tall som 1, 4, 27, 56 og 15,687 - fortsetter for alltid. De er uendelige, og de er også det vi bruker for å telle ting, så han definerte dem som ”utallige uendelige”, ifølge et nyttig nettsted om historie, matematikk og andre emner fra pedagogisk tegneserieskaper Charles Fisher Cooper.
Grupper med utallige uendelige tall har noen interessante egenskaper. For eksempel er partallene (2, 4, 6 osv.) Også utallige. Og mens det teknisk sett er halvparten så mange av dem som det som omfatte hele settet med naturlige tall, er de fortsatt den samme typen uendelig.
Med andre ord kan du plassere alle de jevne tallene og alle de naturlige tallene side om side i to kolonner, og begge kolonnene går til uendelig, men de er den samme "lengden" på uendelig. Det betyr at halvparten av tellbar uendelighet fremdeles er uendelig.
Men Cantors store innsikt var å innse at det var andre sett med tall som var utruleg utallige. De reelle tallene - som inkluderer de naturlige tallene, så vel som brøk og irrasjonelle tall som pi - er mer uendelig enn de naturlige tallene. (Hvis du vil vite hvordan Cantor gjorde det og kan takle litt matematisk notasjon, kan du sjekke ut dette regnearket fra University of Maine.)
Hvis du skulle stille opp alle de naturlige tallene og alle de reelle tallene side om side i to kolonner, ville de reelle tallene strekke seg utover det uendelige med de naturlige tallene. Cantor ble senere gal, sannsynligvis av grunner som ikke var knyttet til arbeidet hans med uendelig, ifølge Cooper.
Hva teller?
Så tilbake til spørsmålet om å telle forbi uendelig. "Hva matematikken får deg til å spørre er:" Hva betyr det egentlig? "Sa Towsner. "Hva mener du med å telle forbi uendelig?"
For å komme til saken snakket Towsner om ordinære tall. I motsetning til kardinalnumre (1, 2, 3 og så videre), som forteller deg hvor mange ting som er i et sett, er ordinaler definert av deres posisjoner (første, andre, tredje osv.), Og de ble også introdusert i matematikk av Kantor, ifølge mattenettstedet Wolfram MathWorld.
I ordinærtallene er et konsept kalt omega, betegnet med den greske bokstaven ω, sa Towsner. Symbolet ω er definert som det som kommer etter alle de andre naturlige tallene - eller, som Cantor kalte det, den første transfinite ordinalen.
Men en av tingene med tall er at du alltid kan legge til en annen på slutten, sa Towsner. Så det er noe som ω + 1, og ω + 2 og til og med ω + ω. (I tilfelle du lurer på, treffer du til slutt et nummer kalt ω1, som er kjent som den første utellelige ordinalen.)
Og siden telling er på samme måte som å legge til flere tall, lar disse konseptene deg på en måte telle forbi uendelig, sa Towsner.
Det merkelige med alt dette er en del av grunnen til at matematikere insisterer på å definere vilkårene deres nøye, la han til. Med mindre alt er i orden, er det vanskelig å skille vår normale menneskelige intuisjon fra det som kan bevises matematisk.
"Regnestykket forteller deg: 'Innvendig inntrykk, hva teller?" Sa Towsner.
For oss bare dødelige, kan disse ideene være tøffe å beregne. Hvordan nøyaktig arbeider matematikere med all denne morsomme virksomheten i den daglige forskningen?
"Mye av det er praksis," sa Towsner. "Du utvikler nye intuisjoner med eksponering, og når intuisjonen mislykkes, kan du si: 'Vi snakker om dette nøyaktige trinnvise, strenge beviset.' Så hvis dette beviset er overraskende, kan vi fortsatt sjekke at det er riktig, og deretter lære å utvikle en ny intuisjon rundt det. "
